性质 [admonition title="性质1" color="indigo"] $$r(AB)\le\min\{r(A),r(B)\}$$ [/admonition] 设 $A$ 是 $m\times n$ 矩阵，$B$ 是 $n\times s$ 矩阵。 将矩阵 $B$ 按列分块，$B=(\beta_1,\beta_2,\cdots,\be…

本文假设需要排序的数组是 $A[]$，并且是不降序的排列 $(A[j]\ge A[i])_{j\gt i}$。 默认数组下标从 $0$ 开始。 插入排序 基础插入排序 一句话概括：从左往右遍历数组，将每次遍历到的元素 $A[i]$ 向左移动到可能的最左侧的位置 $j$，要求满足 $A[j+1]\gt A[j]$ 。（有点不严谨，但不影响理解） vo…

偏导数 定义 这里以对 $x$ 的偏导数为例，设有二元函数 $f(x,y)$ ：$$f_x^\prime(x_0,y_0)=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{f(x+\Delta x,x_0)-f(x_0,y_0)}{\Delta x} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} f(x,y_…

平面图形面积 直角坐标系 直角坐标系下计算平面图形面积是最基础的定积分应用（因为这就是定积分的几何意义）。 计算由两条抛物线：$y^2=x,y=x^2$ 所围成的图形的面积。 先确定两抛物线的角点，联立方程组： $$\begin{cases}y^2=x\\y=x^2\end{cases}\Rightarrow (0,0);(1,1)$$ 于是围成的…

可分离变量的微分方程 形如 $y^\prime = f(x)g(y)$ 的微分方程被称为是可分离变量的微分方程，这类方程的求解思路非常简单，如下： $$\begin{aligned}y^\prime = f(x)g(y) &\Rightarrow \frac{\mathrm{d}y}{g(y)}=f(x)\mathrm{d}x\\&…

常用导数表 $$\begin{aligned}(x^a)^\prime &= ax^{a-1} \\(\sin x)^\prime &= \cos x\\(\cos x)^\prime &= -\sin x\\(\tan x)^\prime &= \sec^2 x\\(a^x)^\prime &= a^x \…

华里士公式 $$\begin{aligned}\int_0^\frac{\pi}{2} \sin^n x \mathrm{d} x= \int_0^\frac{\pi}{2} \cos^n x \mathrm{d} x&= \begin{cases}\frac{(n-1)!!}{n!!}\cdot\frac{\pi}{2} & n=…

更多展开式可以查看Wolfram。 $$\begin{aligned}e^x &=& 1 + x + \frac{1}{2!}x^2 + \frac{1}{3!}x^3 + o(x^3) \\\alpha^x &=& 1 + \ln \alpha x + \frac{\ln^2 \alpha}{2!}x^2 + \f…

2021.11.3 23考研每日一题（3） 已知 $f(x+1)$ 的定义域为 $[0,a],(a\ge 0)$，则 $f(x)$ 的定义域为？ $f(x+1)$ 的定义域实际上说的是 $x\in [0,a]$ ，然后 $f(x)$ 的定义域要看 $f(x+1)$ 的值域。由于 $f(x)$ 的值域为 $[f(1),f(a+1)]$ ，所以 $f(…

注意，本文的主要内容是《算法导论》书中的KMP算法，而非原始论文给出的形式。相比较于原始论文，算法导论中给出的border形式的KMP算法更加实用，原因是XCPC竞赛中border的作用远超过模式匹配，因此本文中的next数组定义为前缀子串最长的border。 如果你是考研选手，请查阅文末的原始论文定义！！！ Border 先定义两个符号： 字符串…