平面图形面积 直角坐标系 直角坐标系下计算平面图形面积是最基础的定积分应用（因为这就是定积分的几何意义）。 计算由两条抛物线：$y^2=x,y=x^2$ 所围成的图形的面积。 先确定两抛物线的角点，联立方程组： $$\begin{cases}y^2=x\\y=x^2\end{cases}\Rightarrow (0,0);(1,1)$$ 于是围成的…

可分离变量的微分方程 形如 $y^\prime = f(x)g(y)$ 的微分方程被称为是可分离变量的微分方程，这类方程的求解思路非常简单，如下： $$\begin{aligned}y^\prime = f(x)g(y) &\Rightarrow \frac{\mathrm{d}y}{g(y)}=f(x)\mathrm{d}x\\&…

常用导数表 $$\begin{aligned}(x^a)^\prime &= ax^{a-1} \\(\sin x)^\prime &= \cos x\\(\cos x)^\prime &= -\sin x\\(\tan x)^\prime &= \sec^2 x\\(a^x)^\prime &= a^x \…

华里士公式 $$\begin{aligned}\int_0^\frac{\pi}{2} \sin^n x \mathrm{d} x= \int_0^\frac{\pi}{2} \cos^n x \mathrm{d} x&= \begin{cases}\frac{(n-1)!!}{n!!}\cdot\frac{\pi}{2} & n=…

更多展开式可以查看Wolfram。 $$\begin{aligned}e^x &=& 1 + x + \frac{1}{2!}x^2 + \frac{1}{3!}x^3 + o(x^3) \\\alpha^x &=& 1 + \ln \alpha x + \frac{\ln^2 \alpha}{2!}x^2 + \f…

2021.11.3 23考研每日一题（3） 已知 $f(x+1)$ 的定义域为 $[0,a],(a\ge 0)$，则 $f(x)$ 的定义域为？ $f(x+1)$ 的定义域实际上说的是 $x\in [0,a]$ ，然后 $f(x)$ 的定义域要看 $f(x+1)$ 的值域。由于 $f(x)$ 的值域为 $[f(1),f(a+1)]$ ，所以 $f(…

注意，本文的主要内容是《算法导论》书中的KMP算法，而非原始论文给出的形式。相比较于原始论文，算法导论中给出的border形式的KMP算法更加实用，原因是XCPC竞赛中border的作用远超过模式匹配，因此本文中的next数组定义为前缀子串最长的border。 如果你是考研选手，请查阅文末的原始论文定义！！！ Border 先定义两个符号： 字符串…

树状数组实例 一般情况下，数据结构我们都以 $1$ 作为起始下标。 lowbit $lowbit$ 操作是为了求出一个数字 $x$ 在二进制形态下，最低位的 $1$ 。 例如 $(110100)_2$ 中最低位 $1$ 的是 $(100)_2$ 。 $lowbit$ 求解的方法是，先将 $x$ 的二进制按位取反，然后 $+1$ ，再按位与原数字。 …

比赛链接 A - 考勤1 简单模拟 #include <bits/stdc++.h> using namespace std; int main() { ios::sync_with_stdio(false); cin.tie(nullptr); cout.tie(nullptr); int t; cin >> t; whi…

部分题目课上讲过，就不解释了。 A - Registration system #include <bits/stdc++.h> using namespace std; int main() { ios::sync_with_stdio(false); cin.tie(nullptr); cout.tie(nullptr); int …