本文内容主要来源于 "Computational Geometry - Algorithms and Applications" 书中第 8.2 章和 11.4 章。 对偶变换 在二维几何中，对偶性是一种将点和线之间的关系互换的概念。 在点 - 线对偶中，平面上的每一条直线可以映射为一个点，反之亦然。具体地，点 $(p_x,p_y)$ 的对偶是直线 $y+p_y=…

本文原始论文：链接。 符号定义 $\lfloor x\rfloor$ 表示小于等于 $x$ 的最大整数；$\{x\}=x-\lfloor x\rfloor$，即 $x$ 的小数部分；$\%$ 表示取模。 线段上的格点数 如果你熟悉 exgcd 和线性同余方程，那么可以直接跳过本节。 定义 1 设 $x_1,y_1,x_2,y_2$ 为有理数，定义 $L (…

AtCoder Beginner Contest 371 题解 E - I Hate Sigma Problems 定义函数 $f (l,r)$ 表示 $A [l],A [l+1],\cdots,A [r]$ 中不同的元素个数，求 $$\sum_{i=1}^N\sum_{j=i}^N f (i,j).$$ 其实就是求数组 $A$ 中所有区间的元素种类数。可以通过…

点值表示法 对于一个 $n-1$ 阶多项式 $P (x)=a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_{n-1} x^{n-1}$，如果我们已知一个点集 $S:\{(x_0,y_0),(x_1,y_1),\cdots,(x_{n-1},y_{n-1})\}$，点集 $S$ 中的所有点都满足 $y_i=P (x_i)$，且 $x_i (i=0,1,\c…

傅里叶级数的复数形式 推导 在傅里叶级数章节中，我们已知一个周期为 $2l$ 的周期函数可以展开为 $$f (x) = a_0 + \sum_{i=1}^{\infty} a_i \cos \frac {i\pi x}{l} + \sum_{i=1}^{\infty} b_i\sin \frac {i\pi x}{l}$$ 为了方便起见，我们作如下定义：常…

目录 三维几何 1. 点和向量 三维几何 2. 平面 三维几何 3. 直线 一些废话 三维几何系列文章将会尽可能全面地介绍三维计算几何的基础知识，并简单地引入部分重要的计算机图形学内容，希望能够顺利更新完。由于这些文章本质上是我的学习笔记，没有审稿人，如有错误请务必指出！ 引用 Geometry in competitive programming, V…

直线 定义 一般式 不像二维几何中，直线 $l$ 可以直接用一个方程 $ax+by=c$ 简单地表示，三维几何中 $ax+by+cz=d$ 表示一个平面。而直线可以表示为两个平面的交，即方程组 $$l:\begin {cases}\Pi_1: a_1x+b_1y+c_1z=d_1\\\Pi_2: a_2x+b_2y+c_2z=d_2\\\end {ca…

平面 定义 平面是满足方程 $ax+by+cz=d$ 的点 $(x,y,z)$ 的集合。类似于二维平面（直线），这里 $a,b,c$ 定义了平面的方向，$d$ 定义了平面相对于原点的偏移量。 偏移量不同的平面 法向量 $\boldsymbol n=(a,b,c)$ 是一个垂直于平面 $ax+by+cz=d$ 的向量，因此常用于描述平面的方向。 关于…

点和向量 叉积 与二维向量叉积不同，三维向量叉积是一个向量，向量 $\boldsymbol a=(x1,y1,z1)$ 叉乘 $\boldsymbol b=(x2,y2,z2)$ 的计算公式如下 $$\begin {aligned}(x1,y1,z1)\times (x2,y2,z2) &= \det \begin {bmatrix}\bold…

2024.1.19 完成服务器迁移。 因为阿里云的高校优惠（300 代金券 + 3 折优惠），成功白嫖了一个 5 年的服务器，忙了一天总算完成了网站的迁移 + wordpress 升级 + https 升级。 https 需要 ssl 证书，部署教程（Apache2）。