B-spline Cox-de Boor recursion formula 定义集合 $U$ 由 $m+1$ 个不降的实数 $u_0\le u_1\le\cdots\le u_m$ 构成，我们称 $u_i$ 为结点（knot），$U$ 为结点向量（knot vector）。 给定结点向量 $U$，则其对应的 $k$ 次B-spline $N_{i…

背景 考研初试成绩刚出来，等待复试中……为了练习一下机试，正好和老友参加一下校赛，摇来了Hugin和Suzukaze。因为Hugin在北京，要了一个线上参赛的名额，队名沿用了去年省赛的队名。本以为大伙都已经是退役一年的废物了，没想到三人三机一通乱切就这样了： 部分题解 这里只放我知道做法的题目（有的题直接被队友秒了）。 B Puzzle: Guid…

周期为 $2\pi$ 的傅里叶级数 傅里叶级数是一种利用三角函数近似周期函数的方法，本节将以周期为 $2\pi$ 的函数 $f(x)$ 为例，解析傅里叶级数是如何做到拟合的： $$f(x) = a_0 + \sum_{i=1}^{\infty} a_i\cos ix + \sum_{j=1}^{\infty}b_j\sin jx$$ 一个分别采用傅…

直接给出这个定积分$$\int_0^1\frac{\ln(1+x)}{1+x^2}\mathrm dx$$出处：同济大学《高等数学（下）》第七版P183例题3。 解法一 这是教材给出的解法，利用的是含参积分的性质，这种解法简直闻所未闻。 构造一个含参函数 $\varphi(t,x)$： $$\varphi(t,x) = \int_0^1\frac{…

分布函数和概率密度函数 分布函数的简单解释：一元情况下，一个连续随机变量 $X$ 的分布函数 $F_X(x)$ 的含义是——$X\le x$ 的概率，因此分布函数有这些性质： $\lim_{x\rightarrow -\infty}F_X(x)=0$。$\lim_{x\rightarrow +\infty}F_X(x)=1$。$F_X(x)$ 右连…

性质 [admonition title="性质1" color="indigo"] $$r(AB)\le\min\{r(A),r(B)\}$$ [/admonition] 设 $A$ 是 $m\times n$ 矩阵，$B$ 是 $n\times s$ 矩阵。 将矩阵 $B$ 按列分块，$B=(\beta_1,\beta_2,\cdots,\be…

本文假设需要排序的数组是 $A[]$，并且是不降序的排列 $(A[j]\ge A[i])_{j\gt i}$。 默认数组下标从 $0$ 开始。 插入排序 基础插入排序 一句话概括：从左往右遍历数组，将每次遍历到的元素 $A[i]$ 向左移动到可能的最左侧的位置 $j$，要求满足 $A[j+1]\gt A[j]$ 。（有点不严谨，但不影响理解） vo…

偏导数 定义 这里以对 $x$ 的偏导数为例，设有二元函数 $f(x,y)$ ：$$f_x^\prime(x_0,y_0)=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{f(x+\Delta x,x_0)-f(x_0,y_0)}{\Delta x} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} f(x,y_…

平面图形面积 直角坐标系 直角坐标系下计算平面图形面积是最基础的定积分应用（因为这就是定积分的几何意义）。 计算由两条抛物线：$y^2=x,y=x^2$ 所围成的图形的面积。 先确定两抛物线的角点，联立方程组： $$\begin{cases}y^2=x\\y=x^2\end{cases}\Rightarrow (0,0);(1,1)$$ 于是围成的…

可分离变量的微分方程 形如 $y^\prime = f(x)g(y)$ 的微分方程被称为是可分离变量的微分方程，这类方程的求解思路非常简单，如下： $$\begin{aligned}y^\prime = f(x)g(y) &\Rightarrow \frac{\mathrm{d}y}{g(y)}=f(x)\mathrm{d}x\\&…