周期为 $2\pi$ 的傅里叶级数 傅里叶级数是一种利用三角函数近似周期函数的方法，本节将以周期为 $2\pi$ 的函数 $f(x)$ 为例，解析傅里叶级数是如何做到拟合的： $$f(x) = a_0 + \sum_{i=1}^{\infty} a_i\cos ix + \sum_{j=1}^{\infty}b_j\sin jx$$ 一个分别采用傅…

直接给出这个定积分$$\int_0^1\frac{\ln(1+x)}{1+x^2}\mathrm dx$$出处：同济大学《高等数学（下）》第七版P183例题3。 解法一 这是教材给出的解法，利用的是含参积分的性质，这种解法简直闻所未闻。 构造一个含参函数 $\varphi(t,x)$： $$\varphi(t,x) = \int_0^1\frac{…

偏导数 定义 这里以对 $x$ 的偏导数为例，设有二元函数 $f(x,y)$ ：$$f_x^\prime(x_0,y_0)=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{f(x+\Delta x,x_0)-f(x_0,y_0)}{\Delta x} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} f(x,y_…

平面图形面积 直角坐标系 直角坐标系下计算平面图形面积是最基础的定积分应用（因为这就是定积分的几何意义）。 计算由两条抛物线：$y^2=x,y=x^2$ 所围成的图形的面积。 先确定两抛物线的角点，联立方程组： $$\begin{cases}y^2=x\\y=x^2\end{cases}\Rightarrow (0,0);(1,1)$$ 于是围成的…

可分离变量的微分方程 形如 $y^\prime = f(x)g(y)$ 的微分方程被称为是可分离变量的微分方程，这类方程的求解思路非常简单，如下： $$\begin{aligned}y^\prime = f(x)g(y) &\Rightarrow \frac{\mathrm{d}y}{g(y)}=f(x)\mathrm{d}x\\&…

常用导数表 $$\begin{aligned}(x^a)^\prime &= ax^{a-1} \\(\sin x)^\prime &= \cos x\\(\cos x)^\prime &= -\sin x\\(\tan x)^\prime &= \sec^2 x\\(a^x)^\prime &= a^x \…

华里士公式 $$\begin{aligned}\int_0^\frac{\pi}{2} \sin^n x \mathrm{d} x= \int_0^\frac{\pi}{2} \cos^n x \mathrm{d} x&= \begin{cases}\frac{(n-1)!!}{n!!}\cdot\frac{\pi}{2} & n=…

更多展开式可以查看Wolfram。 $$\begin{aligned}e^x &=& 1 + x + \frac{1}{2!}x^2 + \frac{1}{3!}x^3 + o(x^3) \\\alpha^x &=& 1 + \ln \alpha x + \frac{\ln^2 \alpha}{2!}x^2 + \f…

2021.11.3 23考研每日一题（3） 已知 $f(x+1)$ 的定义域为 $[0,a],(a\ge 0)$，则 $f(x)$ 的定义域为？ $f(x+1)$ 的定义域实际上说的是 $x\in [0,a]$ ，然后 $f(x)$ 的定义域要看 $f(x+1)$ 的值域。由于 $f(x)$ 的值域为 $[f(1),f(a+1)]$ ，所以 $f(…