本文内容主要来源于"Computational Geometry - Algorithms and Applications"书中第8.2章和11.4章。 对偶变换 在二维几何中，对偶性是一种将点和线之间的关系互换的概念。 在点-线对偶中，平面上的每一条直线可以映射为一个点，反之亦然。具体地，点 $(p_x,p_y)$ 的对偶是直线 $y+p_y=…

本文原始论文：链接。 符号定义 $\lfloor x\rfloor$ 表示小于等于 $x$ 的最大整数；$\{x\}=x-\lfloor x\rfloor$，即 $x$ 的小数部分；$\%$ 表示取模。 线段上的格点数 如果你熟悉exgcd和线性同余方程，那么可以直接跳过本节。 定义1 设 $x_1,y_1,x_2,y_2$ 为有理数，定义 $L(…

傅里叶级数的复数形式 推导 在傅里叶级数章节中，我们已知一个周期为 $2l$ 的周期函数可以展开为 $$f(x) = a_0 + \sum_{i=1}^{\infty}a_i \cos \frac{i\pi x}{l} + \sum_{i=1}^{\infty} b_i\sin \frac{i\pi x}{l}$$ 为了方便起见，我们作如下定义：常…

周期为 $2\pi$ 的傅里叶级数 傅里叶级数是一种利用三角函数近似周期函数的方法，本节将以周期为 $2\pi$ 的函数 $f(x)$ 为例，解析傅里叶级数是如何做到拟合的： $$f(x) = a_0 + \sum_{i=1}^{\infty} a_i\cos ix + \sum_{j=1}^{\infty}b_j\sin jx$$ 一个分别采用傅…

直接给出这个定积分$$\int_0^1\frac{\ln(1+x)}{1+x^2}\mathrm dx$$出处：同济大学《高等数学（下）》第七版P183例题3。 解法一 这是教材给出的解法，利用的是含参积分的性质，这种解法简直闻所未闻。 构造一个含参函数 $\varphi(t,x)$： $$\varphi(t,x) = \int_0^1\frac{…

分布函数和概率密度函数 分布函数的简单解释：一元情况下，一个连续随机变量 $X$ 的分布函数 $F_X(x)$ 的含义是——$X\le x$ 的概率，因此分布函数有这些性质： $\lim_{x\rightarrow -\infty}F_X(x)=0$。$\lim_{x\rightarrow +\infty}F_X(x)=1$。$F_X(x)$ 右连…

性质 [admonition title="性质1" color="indigo"] $$r(AB)\le\min\{r(A),r(B)\}$$ [/admonition] 设 $A$ 是 $m\times n$ 矩阵，$B$ 是 $n\times s$ 矩阵。 将矩阵 $B$ 按列分块，$B=(\beta_1,\beta_2,\cdots,\be…

偏导数 定义 这里以对 $x$ 的偏导数为例，设有二元函数 $f(x,y)$ ：$$f_x^\prime(x_0,y_0)=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{f(x+\Delta x,x_0)-f(x_0,y_0)}{\Delta x} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} f(x,y_…

平面图形面积 直角坐标系 直角坐标系下计算平面图形面积是最基础的定积分应用（因为这就是定积分的几何意义）。 计算由两条抛物线：$y^2=x,y=x^2$ 所围成的图形的面积。 先确定两抛物线的角点，联立方程组： $$\begin{cases}y^2=x\\y=x^2\end{cases}\Rightarrow (0,0);(1,1)$$ 于是围成的…

可分离变量的微分方程 形如 $y^\prime = f(x)g(y)$ 的微分方程被称为是可分离变量的微分方程，这类方程的求解思路非常简单，如下： $$\begin{aligned}y^\prime = f(x)g(y) &\Rightarrow \frac{\mathrm{d}y}{g(y)}=f(x)\mathrm{d}x\\&…