傅里叶级数的复数形式

推导

在傅里叶级数章节中，我们已知一个周期为 $2l$ 的周期函数可以展开为

$$f(x) = a_0 + \sum_{i=1}^{\infty}a_i \cos \frac{i\pi x}{l} + \sum_{i=1}^{\infty} b_i\sin \frac{i\pi x}{l}$$

为了方便起见，我们作如下定义：常数项 $a_0$ 记作 $\frac {a_0}{2}$，设周期 $T=2l$，记 $\omega = \frac {2\pi}{T}$，则有

$$f(t) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty}a_n\cos n\omega t + \sum_{n=1}^{\infty}b_n\sin n\omega t$$

根据欧拉公式 $e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$ 的推论 $\begin {cases}\cos\theta = \frac {1}{2}(e^{i\theta} + e^{-i\theta})\\ \sin\theta = -\frac {1}{2} i (e^{i\theta}-e^{-i\theta})\end {cases}$，代入傅里叶级数的表达式中就有

$$\begin{aligned} f(t) &= \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \bigg[\frac{a_n}{2}(e^{in\omega t}+e^{-in\omega t}) – \frac{ib_n}{2}(e^{in\omega t}-e^{-in\omega t})\bigg]\\ &= \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \bigg[\frac{a_n-ib_n}{2}e^{in\omega t} + \frac{a_n+ib_n}{2}e^{-in\omega t}\bigg]\\ &= \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_n-ib_n}{2}e^{in\omega t} + \sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_n+ib_n}{2}e^{-in\omega t}\\ &= \sum_{n=0}^0\frac {a_0}{2} e^{in\omega t} + \sum_{n=1}^{\infty}\frac {a_n-ib_n}{2} e^{in\omega t} + \sum_{n=-\infty}^{-1}\frac {a_{-n}+ib_{-n}}{2} e^{in\omega t}\quad (令 n 为 - n)\\ &= \sum_{n=-\infty}^{\infty} c_ne^{in\omega t} \end{aligned}$$

这里，$c_n = \begin {cases}\frac {a_0}{2} & n=0\\ \frac {a_n-ib_n}{2} & n\gt 0\\ \frac {a_{-n}+ib_{-n}}{2} & n\lt 0\end {cases}$，根据常数项 $a_n,b_n$ 在非傅里叶级数中的公式可知 $\begin {cases} a_0 = \frac {2}{T}\int_0^T f (t)\mathrm dt\\ a_n = \frac {2}{T}\int_0^Tf (t)\cos n\omega t\mathrm dt\\ b_n=\frac {2}{T}\int_0^T f (t)\sin n\omega t\mathrm dt\end {cases}$，代入 $c_n$ 的表达式就有

$$c_n = \begin{cases} \begin{aligned} \frac{a_0}{2} &= \frac{1}{2}\cdot \frac{2}{T}\int_0^Tf(t)\mathrm dt\\ &= \frac{1}{T}\int_0^Tf(t)\mathrm dt \end{aligned}& n=0\\ \\ \begin{aligned} \frac{a_n-ib_n}{2} &= \frac{1}{2}\cdot\bigg(\frac{2}{T}\int_0^T f(t)\cos n\omega t\mathrm dt – i\frac{2}{T}\int_0^Tf(t)\sin n\omega t \mathrm dt\bigg)\\ &= \frac{1}{T}\int_0^Tf(t)(\cos n\omega t – i\sin n\omega t)\mathrm dt\\ &= \frac {1}{T}\int_0^Tf (t)(\cos (-n\omega t) + i\sin (-n\omega t))\mathrm dt\quad (奇偶性)\\ &= \frac {1}{T}\int_0^Tf (t) e^{-in\omega t}\mathrm dt \quad (欧拉公式)\\ \end{aligned} & n\gt 0\\ \\ \begin{aligned} \frac{a_{-n}+ib_{-n}}{2} &= \frac 12\cdot\bigg(\frac 2 T \int_0^T f(t)\cos(-n\omega t)\mathrm dt + i\frac 2T \int_0^T f(t)\sin(-n\omega t)\mathrm dt\bigg)\\ &= \frac 1T \int_0^T f(t)e^{-in\omega t}\mathrm dt\\ \end{aligned} & n\lt 0 \end{cases}$$

注意到 $n\gt 0,n\lt 0$ 两种情况的积分是完全一致的，所以

$$c_n=\begin{cases} \frac{1}{T}\int_0^Tf(t)\mathrm dt & n=0\\ \frac{1}{T}\int_0^Tf(t)e^{-in\omega t}\mathrm dt & n\neq0\\ \end{cases} = \frac{1}{T}\int_0^Tf(t)e^{-in\omega t}\mathrm dt$$

结论

根据上方推导，我们可以得出结论：对于一个周期为 $T$ 的函数 $f (t)$，可以展开为傅里叶级数的复数形式

$$f(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} c_ne^{in\omega t}$$

其中

$$c_n=\frac{1}{T}\int_0^Tf(t)e^{-in\omega t}\mathrm dt$$

傅里叶变换

傅里叶变换 (FT)

上文已经得出了傅里叶级数的复数形式，即一个周期为 $T$ 的函数 $f_T (t)$ 可以展开为

$$\begin{aligned} f(t) &= \sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n e^{in\omega t}\\ &= \sum_{n=-\infty}^{\infty} (\frac{1}{T}\int_{-\frac T 2}^{\frac T 2}f(t)e^{-in\omega t}\mathrm dt) e^{in\omega t}\\ \end{aligned}$$

对于这个式子，我们可以将 $n\omega$ 视作一个整体，也就是说傅里叶级数实际上是在枚举不同频率 $\cdots,1\omega,2\omega,\cdots,n \omega,\cdots$。可以想象一个数轴，该数轴上的点均为 $n\omega$，每个点的值对应一个复数 $c_n$。根据该思想，记 $\omega_0 = \frac {2\pi}{T}$（这个参数也被称为是基频率），那么傅里叶级数就是在枚举基频率 $\cdots,1\omega_0,2\omega_0,\cdots,n \omega_0,\cdots$，于是傅里叶级数就可以用基频率表示为

$$\begin{aligned} f(t) &= \sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n e^{in\omega_0 t}\\ &= \sum_{n=-\infty}^{\infty} (\frac{1}{T}\int_{-\frac T 2}^{\frac T 2}f(t)e^{-in\omega_0 t}\mathrm dt) e^{in\omega_0 t}\\ \end{aligned}$$

对于一个非周期函数 $f (t)$，我们能否也将其展开为傅里叶级数呢？答案就是傅里叶变换，我们可以将这个非周期函数 $f (t)$ 视作一个周期为 $\infty$ 的 “周期函数”。当 $T\rightarrow\infty$ 时，$\omega_0\rightarrow 0$，此时对于基频率 $\omega_0$ 的枚举就从一个离散函数变成了一个连续函数。

记 $\Delta\omega = (n+1)\omega_0 – n\omega_0 = \omega_0 = \frac {2\pi}{T}$，$\omega = n\omega_0$ 则

$$\begin{aligned} f(t) &= \sum_{n=-\infty}^{\infty} (\frac{1}{T}\int_{-\frac T 2}^{\frac T 2}f(t)e^{-in\omega_0 t}\mathrm dt) e^{in\omega_0 t}\\ &= \sum_{n=-\infty}^{\infty}\frac{\Delta\omega}{2\pi}\int_{-\frac T 2}^{\frac T 2}f(t)e^{-i\omega t}\mathrm dt\cdot e^{i\omega t}\\ &= \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-i\omega t}\mathrm dt\mathrm\cdot e^{i\omega t} \mathrm d\omega\quad(T\rightarrow \infty,\omega\rightarrow 0) \end{aligned}$$

这里可以类比定积分的几何意义（在区间 $[a,b]$ 内均匀地取 $n-1$ 个分点 $a=x_0\lt x_1\lt \cdots\lt x_{n}=b$，记 $\Delta x_i = x_i-x_{i-1}$，$\xi_i\in (x_{i-1},x_i)$，则 $\int_a^b f (x)\mathrm dx = \lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{i=1}^n f (\xi_i)\Delta x_i$），只不过上下限都变成了无穷（不定积分）。

记 $F (\omega)=\int_{-\infty}^{\infty} f (t) e^{-i\omega t}\mathrm dt$，该式就是傅立叶变换，而 $f (t) = \frac {1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} F (\omega) e^{i\omega t}\mathrm d\omega$ 就是逆傅里叶变换。

离散傅里叶变换（DFT）

在实际应用中，我们很难做到对连续函数做傅里叶变换，但是可以对函数进行采样，然后做离散傅里叶变换，公式为

$$X_k = \sum_{n=0}^{N-1}x_ne^{-i \frac{2\pi }{N}nk}$$

假设我们已知序列 $x_0,x_1,\cdots,x_{N-1}$ 的值，那我们根据离散傅里叶变换公式就能求出对应的 $X_0,X_1,\cdots,X_{n-1}$ 了。这里 $N$ 是所分析函数 / 信号的长度（采样区间），$x_0,x_1,\cdots,x_{N-1}$ 可以视作是我们对连续信号的离散采样。

同理存在离散傅里叶逆变换

$$x_k = \frac 1N \sum_{n=0}^{N-1}X_ne^{i \frac{2\pi}{N}nk}$$