常用导数表

$$
\begin{aligned}
(x^a)^\prime &= ax^{a-1} \\
(\sin x)^\prime &= \cos x\\
(\cos x)^\prime &= -\sin x\\
(\tan x)^\prime &= \sec^2 x\\
(a^x)^\prime &= a^x \ln a\ (a\gt 0,a\neq 1)\\
(\log_a x)^\prime &= \frac{1}{x\ln a}\ (a\gt 0,a\neq 1)\\
(\arcsin x)^\prime &= \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\\
(\arccos x)^\prime &= -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\\
(\arctan x)^\prime &= \frac{1}{1+x^2}\\
\end{aligned}
$$

一般求导法则

下文中 $u,v$ 代表可微函数，其余字符代表常数。

线性法则

$$(cu)^\prime = c\cdot u^\prime$$

加法法则

$$(u+v)^\prime = u^\prime + v^\prime$$

乘法法则

$$(uv)^\prime = u^\prime v + uv^\prime$$

除法法则

$$(\frac{u}{v})^\prime = \frac{u^\prime v – u v^\prime}{v^2}$$

链式法则（复合函数求导法则）

$$u(v(x))^\prime = (u \circ v)(x) = u^\prime(v(x))v^\prime(x)$$

链式法则的直观理解就是 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} u} \frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{d} x}$ 。

一般求导法则拓展

反函数求导

$x=f(y)$ 和 $y=f(x)$ 互为反函数，则有：

$$
[f^{-1}(x)]^\prime = \frac{1}{f^\prime(y)} \Leftrightarrow \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} = \frac{1}{\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} y}}
$$

即，反函数的导数为直接函数的导数的倒数。

例题

求 $y=\arcsin(x)$ 的导数。

考虑函数 $y=\arcsin(x)$ 的反函数 $x = \arcsin(y) (y\in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}])$ 存在，因此根据反函数求导法则有：

$$
\begin{aligned}
\arcsin^\prime x &= \frac{1}{\sin^\prime y}\\
&= \frac{1}{\cos \arcsin x}\\
&= \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}
\end{aligned}
$$

同理，我们还能求出 $y=\arccos x$ 的导数为 $-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ ，$y=\arctan x$ 的导数为 $\frac{1}{1+x^2}$ 等。

隐函数求导

隐函数求导实际上就是复合函数求导，直接看例题：

求隐函数 $y(x) = e^y+xy-e=0$ 的导数。

这里 $y=f(x)$ 无法直接显式表示，因此这是一个隐函数，此时我们可以令 $y=f(x)$ ，然后带回原式：

$$
\begin{aligned}
e^{f(x)} + xf(x) – e = 0 &\Rightarrow (e^{f(x)} + xf(x) – e)^\prime = 0^\prime\\
&\Rightarrow f^\prime(x)e^{f(x)} + f(x) + xf^\prime(x) = 0\\
&\Rightarrow f^\prime(x) = -\frac{f(x)}{e^{f(x)}+x}\\
&\Rightarrow y^\prime = -\frac{y}{e^y+x}\\
\end{aligned}
$$

莱布尼茨法则

莱布尼茨法则其实就是高阶导数的乘法法则，形式上类似于二项式定理：

$$
(u\cdot v)^{(n)} = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} u^{(k)}v^{(n-k)}
$$

参数方程求导

设有参数方程 $\begin{cases} x=\varphi(t)\\ y=\psi(t) \end{cases}$ ，求该参数方程的一阶、二阶导数。

求导实际上就是求 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$ ，但是由于参数方程中没有 $x$ 和 $y$ 的显式关系，因此仍然是考虑链式法则 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}\frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}x}$ 。于是：

$$
\begin{aligned}
\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} &= \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}\frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}x}\\
&= \frac{\mathrm{d}\psi(t)}{\mathrm{d}t} \frac{1}{\frac{\mathrm{d}\varphi(t)}{\mathrm{d}t}}\\
&= \frac{\psi^\prime(t)}{\varphi^\prime(t)}\\
\end{aligned}
$$

二阶导数的求解可以直接利用一阶导数的公式，对其两边求导解出：

$$
\begin{aligned}
\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \frac{\psi^\prime(t)}{\varphi^\prime(t)} \Rightarrow \frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2} &= (\frac{\psi^\prime(t)}{\varphi^\prime(t)})^\prime\\
&= \frac{\mathrm{d}\frac{\psi^\prime(t)}{\varphi^\prime(t)}}{\mathrm{d} x}\\
&= \frac{\mathrm{d}\frac{\psi^\prime(t)}{\varphi^\prime(t)}}{\mathrm{d} t} \frac{\mathrm{d} t}{\mathrm{d} x}\quad(\text{chain rule})\\
&= \frac{\psi^{\prime\prime}(t)\varphi^\prime(t) – \psi^{\prime}(t)\varphi^{\prime\prime}(t) }{\varphi^\prime(t)^2}\cdot\frac{1}{\varphi^\prime(t)}\\
&= \frac{\psi^{\prime\prime}(t)\varphi^\prime(t) – \psi^{\prime}(t)\varphi^{\prime\prime}(t) }{\varphi^\prime(t)^3}\\
\end{aligned}
$$

变限积分求导

若 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，$\Phi(x)=\int_a^x f(t)\mathrm{d} t$ ，则 $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\Phi(x) = f(x)$ 。

这个定理其实看几何图形就很容易理解：积分的时候，从 $x$ 向右前进一小步增加的面积就近似于 $f(x)$ 。

1. 上下限都变的积分求导只需要用上限的原函数减下限的原函数：
   $$y^\prime = 2xf(x^2) – e^xf(e^x)$$
2. 被积函数同时含有 $x,t$ ，因此先分离变量再求导：
   $$
   \begin{aligned}
   \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\int_0^x (x-t)f(t) \mathrm{d}t &= \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(x\int_0^xf(t)\mathrm{d}t – \int_0^x tf(t)\mathrm{d}t)\\
   &= \int_0^x f(t)\mathrm{d}t + xf(x) – xf(x)\\
   &= \int_0^x f(t)\mathrm{d}t\\
   \end{aligned}
   $$
3. 换元，令 $u = x – t$ ：
   $$
   \begin{aligned}
   \int_0^x \cos(x-t)^2 \mathrm{d}t &= \int_0^x\cos u^2 \mathrm{d}(x-u)\\
   &= \int_0^x \cos u^2 \mathrm{d}u\\
   &\Rightarrow y^\prime = cos x^2\\
   \end{aligned}
   $$
4. 虽然这题上下限都是常数，但是被积函数中含有 $x$ ，因此仍然需要换元，令 $x+t=u$ ：
   $$
   \begin{aligned}
   \int_1^2 f(x+t)\mathrm{d}t &= \int_{x+1}^{x+2}f(u)\mathrm{d}u\\
   &\Rightarrow y^\prime = f(x+2)-f(x+1)
   \end{aligned}
   $$