可分离变量的微分方程
形如 $y^\prime = f(x)g(y)$ 的微分方程被称为是可分离变量的微分方程，这类方程的求解思路非常简单，如下：
$$
\begin{aligned}
y^\prime = f(x)g(y) &\Rightarrow \frac{\mathrm{d}y}{g(y)}=f(x)\mathrm{d}x\\
&\Rightarrow \int\frac{\mathrm{d}y}{g(y)}=\int f(x)\mathrm{d}x
\end{aligned}
$$
这里需要注意，将 $g(y)$ 除过去的时候需要考虑分母不能为零这一特判。
例题
求 $y^\prime = \frac{y(1-x)}{x}$ 通解？
显然是可分离变量的微分方程，因此先直接移项：
$$
\begin{aligned}
\int \frac{\mathrm{d}y}{y} = \int \frac{1-x}{x}\mathrm{d}x &\Rightarrow \ln |y| = \ln |x| – x + C_0\\
&\Rightarrow |y| = |x|e^{x+C_0}\\
&\Rightarrow y = \pm xe^{-x+C_0}\\
&\Rightarrow y = Cxe^{-x}(C\neq 0)\\
\end{aligned}
$$
此外，注意由于左侧的分母 $y\neq 0$ ，因此 $y=0$ 实际上也是一组解，因此本题通解为 $y=Cxe^{-x}$ 。
齐次方程
形如 $y^\prime = \varphi(\frac{y}{x})$ 的微分方程被称为是齐次方程，这类方程一般通过换元法解决。令 $u = \frac{y}{x}$ 则有：
$$
\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{\mathrm{d}xu}{\mathrm{d}x}=u+x\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}=\varphi(u)
$$
注意到其实这已经转化为了可分离变量的微分方程，移项后就可以得到：
$$
\int \frac{\mathrm{d}u}{\varphi(u)-u} = \int \frac{\mathrm{d}x}{x}
$$
例题
求方程 $x^2y^\prime + xy = y^2$ 满足初始条件 $y(1)=1$ 的特解？
显然这是一个齐次方程，所以令 $u = \frac{y}{x}$ ：
$$
\begin{aligned}
\frac{\mathrm{d}u}{u^2-2u}=\frac{\mathrm{d}x}{x} &\Rightarrow \int (\frac{1}{u-2} – \frac{1}{u})\mathrm{d}u = 2\ln |x| + C_0\\
&\Rightarrow \ln |\frac{u-2}{u}| = 2\ln |x| + C_0\\
&\Rightarrow \frac{u-2}{u} = Cx^2\\
&\Rightarrow \frac{y-2x}{2x} = Cx^2
\end{aligned}
$$
代入条件 $y(1)=1$ 可以解出 $C=1$ ，因此本题特解为 $y-2x = -x^2y$ 。
线性方程
一阶齐次线性方程
形如 $y^\prime + P(x)y = 0$ 的微分方程被称为是一阶齐次线性方程。通过观察，这类方程实际上就是可分离变量的微分方程，我们可以将其化简为：
$$
\begin{aligned}
\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=-P(x)y &\Rightarrow \frac{\mathrm{d}y}{y} = -P(x){\mathrm{d}x}\\
&\Rightarrow \int \frac{\mathrm{d}y}{y} = \int -P(x){\mathrm{d}x}\\
&\Rightarrow \ln |y| = -\int P(x)\mathrm{d} x + C_0\\
&\Rightarrow y = \pm e^{C_0}e^{-\int P(x)\mathrm{d} x}\\
&\Rightarrow y = Ce^{-\int P(x)\mathrm{d} x}\quad (y=0是一组特解)
\end{aligned}
$$
一阶非齐次线性方程
形如 $y^\prime + P(x)y = Q(x)$ 的微分方程被称为是一阶齐次线性方程。
这类微分方程一般采用常数变易法解决，这个做法的核心思路是根据一阶齐次线性方程的通解，猜测非齐次方程的通解形如 $y=c(x)e^{-\int P(x)\mathrm{d} x}$ ，对该式左右两侧求导则有：
$$
\begin{aligned}
y^\prime = c(x)^\prime e^{-\int P(x)\mathrm{d} x} – c(x)e^{-\int P(x)\mathrm{d} x}P(x)&\Rightarrow y^\prime + P(x)y = c(x)^\prime e^{-\int P(x)\mathrm{d} x} – c(x)e^{-\int P(x)\mathrm{d} x}P(x) + c(x)e^{-\int P(x)\mathrm{d} x}P(x) = Q(x)\\
&\Rightarrow c(x)^\prime e^{-\int P(x)\mathrm{d} x} = Q(x)\\
&\Rightarrow \int c(x)^\prime \mathrm{d} x = \int Q(x)e^{\int P(x)\mathrm{d} x}\mathrm{d} x\\
&\Rightarrow c(x) = \int Q(x)e^{\int P(x)\mathrm{d} x} \mathrm{d} x + C
\end{aligned}
$$
因此，一阶非齐次线性方程的通解形式为：
$$
y = [\int Q(x)e^{\int P(x)\mathrm{d} x} \mathrm{d} x + C]e^{-\int P(x)\mathrm{d} x}
$$
伯努利方程
形如 $y^\prime + P(x)y = Q(x)y^n(n\neq 1)$ 的微分方程被称为是伯努利方程。
容易观察到，伯努利方程与非齐次线性方程的差距就是右侧多乘了一个 $y^n$ ，如果我们将它除到左侧就可以得到：
$$
\begin{aligned}
y^\prime + P(x)y = Q(x)y^n &\Rightarrow y^{-n}y^\prime + P(x)y^{1-n} = Q(x)\\
&\Rightarrow \frac{\mathrm{d}y^{1-n}}{(1-n)\mathrm{d}x} + P(x)y^{1-n} = Q(x)
\end{aligned}
$$
到这一步，实际上已经出现了一个重复的变量 $y^{1-n}$ ，因此我们可以做变量代换，令 $u=y^{1-n}$ 则有：
$$
\begin{aligned}
\frac{\mathrm{d}y^{1-n}}{(1-n)\mathrm{d}x} + P(x)y^{1-n} = Q(x) \Leftrightarrow \frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}+(1-n)P(x)u = (1-n)Q(x)\\
\end{aligned}
$$
这里，由于 $1-n$ 本质上是常数，因此上式就是一阶非齐次线性微分方程，直接用通式求解即可。
例题
微分方程 $(y + x^2e^{-x})\mathrm{d} x – x\mathrm{d}y = 0$ 的通解是？
$$
\begin{aligned}
(y + x^2e^{-x})\mathrm{d} x – x\mathrm{d}y = 0 &\Rightarrow \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}-\frac{1}{x}\cdot y=xe^{-x}\\
\end{aligned}
$$
这是标准的一阶非齐次线性微分方程，$P(x) = -\frac{1}{x}, Q(x) = xe^{-x}$ ，代入通解公式：
$$
\begin{aligned}
y &= [\int Q(x)e^{\int P(x)\mathrm{d} x} \mathrm{d} x + C]e^{-\int P(x)\mathrm{d} x}\\
&= [\int xe^{-x}e^{\int (-\frac{1}{x})\mathrm{d}x}\mathrm{d} x]e^{-\int (-\frac{1}{x})\mathrm{d}x}\\
&= [\int e^{-x}\mathrm{d} x + C]x\\
&= x(C-e^{-x})
\end{aligned}
$$
因此，本题通解为 $y = x(C-e^{-x})$ 。
可降阶的高阶微分方程
$y^{(n)} = f(x)$ 型
一句话解释：等式两侧同时积分 $n$ 次即可求解。
例题
求微分方程 $y^{\prime\prime\prime} = e^{2x}-\cos x$ 的通解。
对所给方程连续积分 $3$ 次，可得：
$$
\begin{aligned}
y^{\prime\prime} &= \frac{1}{2}e^{2x}-\sin x + C\\
y^\prime &= \frac{1}{4}e^{2x} + \cos x + C x + C_1\\
y &= \frac{1}{8}e^{2x} + \sin x + C_0x^2 + C_1x+C_2\\
\end{aligned}
$$
$y^{\prime\prime}= f(x,y^\prime)$ 型
一句话解释：换元，令 $y^\prime = p$ ，那么 $y^{\prime\prime} = p^\prime$ ，然后就可以求解了。
例题
求微分方程 $xy^{\prime\prime} + 3y^\prime = 0$ 的通解。
令 $y^\prime = p$ ，则有：
$$
\begin{aligned}
xy^{\prime\prime} + 3y^\prime = 0 &\Rightarrow xp^\prime + 3p = 0\\
&\Rightarrow \frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}x} = -\frac{3p}{x}\\
&\Rightarrow \int \frac{\mathrm{d}p}{p} = -3\int \frac{\mathrm{d}x}{x}\\
&\Rightarrow p = Cx^{-\frac{1}{3}}\\
\end{aligned}
$$
最后，由于 $y^\prime = p$ ，再对 $p$ 积分一次就可解出本题通解为 $y = C_0x^\frac{2}{3} + C_1$ 。
$y^{\prime\prime}= f(y,y^\prime)$ 型
这种微分方程相较于前两种稍微复杂一些，不过核心思路仍然是换元，令 $p = y^\prime$ 。但是由于该方程不含有 $x$ ，因此 $y^{\prime\prime}$ 不能简单地用 $p^\prime = \frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}x}$ 替换。解决方案就是经典思路：链式法则，即 $p^\prime = \frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}x} = \frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}y}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = p\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}y}$ 。
例题
求微分方程 $yy^{\prime\prime}+(y^\prime)^2 = 0$ 满足初始条件 $y \big|_{x=0}=1,y^\prime\big|_{x=0} = \frac{1}{2}$ 的特解。
换元，令 $y^\prime = p$ ，则有：
$$
\begin{aligned}
yy^{\prime\prime}+(y^\prime)^2 = 0 &\Rightarrow y\cdot p\cdot \frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}y}+p^2 = 0\\
&\Rightarrow -\frac{\mathrm{d}p}{p}=\frac{\mathrm{d}y}{y} \ \text{or} \ p = 0\\
&\Rightarrow |y| = \frac{C}{|p|}\\
&\Rightarrow y = \frac{C}{p}
\end{aligned}
$$
因此我们得知了一个事实：$yp = C \Leftrightarrow yy^\prime = C$ ，同时由于 $x=0$ 时，$y(0)\times y^\prime(0)=\frac{1}{2}$，因此该特解情况下 $C=\frac{1}{2}$ 。于是我们又得到了一个微分方程：
$$
y\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \frac{1}{2}
$$
这是一个可分离变量的微分方程，不难解出 $y^2 = x + D$ ，代入题设条件即可解出 $y^2 = x + 1\Rightarrow y = \pm \sqrt{x^2+1}$ 。最后，我们再代入一下条件 $x=0,y=1$ 就能确定该方程的特解为 $y=\sqrt{x^2+1}$ 。
高阶线性微分方程
二阶齐次线性微分方程
形如 $y^{\prime\prime} + P(x)y^\prime + Q(x)y = 0$ 的微分方程被称为是二阶齐次线性微分方程。
二阶非齐次线性微分方程
形如 $y^{\prime\prime} + P(x)y^\prime + Q(x)y = f(x)$ 的微分方程被称为是二阶非齐次线性微分方程。
常系数齐次线性微分方程
形如 $y^{\prime\prime} + py^\prime + qy = 0$ 的微分方程被称为是常系数二阶齐次线性微分方程。这类方程的求解近似于二阶线性递推数列通项公式，我们一般采用特征方程法解决。
设 $r^2 + pr + q = 0$ 是 $y^{\prime\prime} + py^\prime + qy = 0$ 的特征方程，那么该微分方程通解可以表示为：
| 特征方程根的关系 | 微分方程通解 |
| 不等实根 $r_0\neq r_1$ | $y=C_0e^{r_0x} + C_1e^{r_1x}$ |
| 相等实根 $r_0 = r_1 = r$ | $y=e^{rx}(C_0+C_1x)$ |
| 共轭复根 $r_{0,1} = \alpha + i\beta$ | $y=e^{\alpha x}(C_0\cos\beta x + C_1\sin\beta x)$ |
下面再给出高阶常系数齐次线性微分方程 $y^{(n)} + A_1y^{(n-1)} + \cdots + A_{(n-1)}y = 0$ 的通解公式：
| 特征方程根的关系 | 微分方程通解 |
| $n$ 个不等实根 $r_0,r_1,\cdots,r_{n-1}$ | $y=C_0e^{r_0x} + C_1e^{r_1x} + C_2e^{r_2x}+\cdots+C_{n-1}e^{r_{n-1}x}$ |
| $k$ 个相等实根 $r_0 = r_1 = \cdots = r_{k-1} = r$ | $y=e^{rx}(C_0+C_1x+C_2x^2+\cdots+C_{k-1}x^{k-1})$ |
| $k$ 对相等共轭复根 $r_{0,1} = \alpha + i\beta$ | $y=e^{\alpha x}[(C_0+C_1x+C_2x^2+\cdots+C_{k-1}x^{k-1})\cos\beta x + (C_0+C_1x+C_2x^2+\cdots+C_{k-1}x^{k-1})\sin\beta x)]$ |
容易发现，高阶方程其实本质上也是特解的线性组合。
例题
求微分方程 $y^{\prime\prime}-y^{\prime}+\frac{1}{4}y=0$ 的通解。
虽然这个微分方程可以通过前面的方法解决，但是这里套常系数齐次线性微分方程公式更简单。显然特征方程有两个相等实根 $r_0=r_1=\frac{1}{2}$ ，因此通解为 $e^{\frac{1}{2}x}(C_0 + C_1x)$ 。
求微分方程 $y^{\prime\prime}+2y^{\prime}+5y=0$ 的通解。
显然特征方程有两个共轭复根 $r_{0,1} = -1 \pm 2i$ ，因此通解为 $e^{-x}(C_0\cos 2x + C_1 \sin 2x)$ 。
求微分方程 $y^{\prime\prime\prime}-2y^{\prime\prime}+y^{\prime}-2y=0$ 的通解。
特征方程 $x^3-2x^2+x-2=0$ 的解集为 $x_0=2,x_{1,2}=\pm i$ ，因此通解为：
$$C_0e^{2x}+C_1\cos x+C_2\sin x$$
常系数非齐次线性微分方程
本节解决形如 $y^{\prime\prime} + py^{\prime} + qy = f(x)$ 的特殊微分方程。这里，实际上我们只需要找到一个特解 $y^*$ ，因为求通解的工作在前文已经解决了（求齐次方程通解+非齐次方程一个特解）。
$f(x)=e^{\lambda x} P_m(x)$ 型
由于等式右边的形式 $e^{\lambda x} P_m(x)$ 是指数函数乘多项式，因此猜测该类方程的特解形式上满足 $y^*=R(x)e^{\lambda x}$ ，于是有：
$$
\begin{aligned}
y^*&=e^{\lambda x} R(x)\\
(y^{*})^\prime&=e^{\lambda x}[\lambda R(x)+R^\prime(x)]\\
(y^{*})^{\prime\prime}&=e^{\lambda x}[\lambda^2 R(x) + 2\lambda R^\prime(x) + R^{\prime\prime}(x)]\\
\end{aligned}
$$
代入 $y^{\prime\prime} + py^{\prime} + qy = f(x)$ 式中，可以得到：
$$
(\lambda^2+p\lambda+q)R(x)+(2\lambda+p)R^\prime(x)+R^{\prime\prime}(x) = P_m(x)
$$
然后，我们分类讨论：
- $\lambda$ 不是特征方程 $r^2 + px + q = 0$ 的根。即 $\lambda^2+p\lambda+q \neq 0$ 。
此时，由于 $P_m(x)$ 是一个 $m$ 阶多项式，因此我们可以假设 $R_m(x) = a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_{m}x^m$ 。然后我们代入到原方程中，联立 $m+1$ 个方程组即可解出 $\{a_0,a_1,\ldots,a_m\}$ 。 - $\lambda$ 是特征方程 $r^2 + px + q = 0$ 的单根。即 $\lambda^2+p\lambda+q = 0, 2\lambda + p\neq 0$ 。
此时由于 $(\lambda^2+p\lambda+q)R(x)=0$ ，所以我们应该令 $R(x)$ 为一个 $m+1$ 阶的多项式 $xR_m(x)$ 。 - $\lambda$ 是特征方程 $r^2 + px + q = 0$ 的重根。即 $\lambda^2+p\lambda+q = 0, 2\lambda + p= 0$ 。
直接说结论：令 $R(x)$ 为 $x^2R_m(x)$ 。
例题
求微分方程 $y^{\prime\prime}-2y^\prime-3y = 3x+1$ 的一个特解。
注意到该微分方程满足 $e^{\lambda x}P_m(x)$ 的形式，其中 $\lambda = 0, P_m(x)=3x=1$ 。并且由于 $\lambda$ 不是特征方程的根，因此我们可以假设 $y=a_0 + a_1x$ 为一特解，然后就可以列出：
$$
q(a_0 + a_1x) + pa_1 = 3x + 1
$$
不难解出 $a_0 = \frac{1}{3},a_1=-1$ 。于是就求出了一个特解 $y=\frac{1}{3}-x$ 。
求微分方程 $y^{\prime\prime}-5y^\prime+6y=xe^{2x}$ 的通解。
由于是求通解，因此我们需要分两步：求齐次方程通解+求非齐次方程特解。
首先求解特征方程 $r^2-5r+6=0$ ，解出特征根 $r_0=2,r_1=3$ ，因此齐次方程的通解为 $C_0e^{2x}+C_1e^{3x}$ 。
然后求特解，这里 $\lambda = 2, P_m(x)=x$ ，由于 $\lambda$ 是特征方程的单根，因此我们令 $R(x) = x(b_0+b_1x)$ ，列出：
$$-(a_0+2a_1x)+2a_1=x$$
解得 $a_0=-\frac{1}{2},a_1=-1$ ，因此得到一个特解：$e^{2x}(-\frac{1}{2}x^2-x)$ 。
通解为：$C_0e^{2x}+C_1e^{3x}-\frac{1}{2}(x^2+x)e^{2x}$ 。
$f(x) = e^{\lambda x}[P_l(x)\cos \omega x + Q_n(x)\sin \omega x]$ 型
推导过于繁琐，直接给结论，特解的结构满足以下形式：
$$
x^ke^{\lambda x}[R_{M}^{(1)}(x)\cos \omega x + R_{M}^{(2)}(x)\sin\omega x]
$$
其中 $k$ 是 $\lambda + \omega i$ 在特征方程中的 $k$ 重复根（也就是作为根出现了 $k$ 次），$R_{M}^{(1)}(x), R_{M}^{(2)}(x)$ 是两个最高次幂 $=M$ 的多项式，$M=\max(l, n)$ 。
例题
求微分方程 $y^{\prime\prime}+y=x\cos 2x$ 的一个特解。
特征方程 $r^2+1=0$ 的解为 $r=\pm i$ ，而 $\lambda = 0, \omega = 2$ 。由于 $\lambda + \omega i$ 并不是特征方程的解，因此特解的形式可以构造为 $(a_0+a_1x)\cos 2x + (b_0+b_1 x)\sin 2x$ ，然后就有：
$$
\begin{aligned}
y&=(a_0+a_1x)\cos 2x + (b_0+b_1x)\sin 2x\\
y^\prime &= -2a_0\sin 2x+a_1\cos 2x – 2a_1x\sin 2x + 2b_0\cos 2x + b_1\sin 2x + 2b_1 x\cos 2x\\
y^{\prime\prime}&=-4a_0\cos 2x-2a_1\sin 2x-2a_1\sin 2x-4a_1x\cos 2x-4b_0\sin 2x +2b_1\cos 2x + 2b_1\cos 2x – 4b_1x\sin 2x\\
\end{aligned}
$$
代入原方程后：
$$
\cos 2x (-3a_0+2b_1+2b_1) + \sin 2x(-2a_1-2a_1-3b_0)+x\cos 2x(-3a_1)+x\sin 2x(5b_1) = x\cos 2x
$$
最终解出 $a_0=0,b_0=\frac{4}{9},a_1=-\frac{1}{3},b_1=0$ ，因此一个特解为 $-\frac{1}{3}x\cos 2x + \frac{4}{9} \sin 2x$ 。
求微分方程 $y^{\prime\prime}-y=e^x\cos 2x$ 的通解。
由特征方程 $r^2-1=0$ 解出齐次方程的通解为 $C_0e^x+C_1e^{-x}$ ，然后再求特解：
根据等式右侧的结构得知：$\lambda = 1, \omega = 2$ ，因此不是特征方程的根，直接构造 $y^*=e^x(a\cos 2x + b\sin 2x)$ 。
$$
\begin{cases}
y&=e^x(a\cos 2x+b\sin 2x)\\
y^\prime&=e^x[(a+2b)\cos 2x + (b-2a)\sin 2x]\\
y^{\prime\prime}&=e^x[(-3a+4b)\cos 2x + (-4a-3b)\sin 2x]\\
\end{cases}
$$
代入原方程后解出 $a=-\frac{1}{8}, b=\frac{1}{8}$ 。综上所述，通解为 $C_0e^x+C_1e^{-x}+\frac{1}{8}e^x(\sin 2x – \cos 2x)$ 。
欧拉方程
形如 $x^ny^{(n)}+p_1x^{n-1}y^{(n-1)}+p_2x^{n-2}y^{(n-2)} + \cdots + p_{n}y = f(x)$ 的微分方程被称为是欧拉方程。
这类方程的求解思路还是换元，令 $x=e^t$ ，则有 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}\frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}x}=\frac{1}{x}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}$ 。由此推出：
$$
\begin{aligned}
\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}&=\frac{1}{x}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}\\
\frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2}&=\frac{1}{x^2}(\frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}t^2} – \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t})\\
\frac{\mathrm{d}^3y}{\mathrm{d}x^3}&=\frac{1}{x^3}(\frac{\mathrm{d}^3y}{\mathrm{d}t^3}-3\frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}t^2}+2\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t})\\
\end{aligned}
$$
由此，我们发现如果用 $D$ 来表示算子 $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}$ ，就有以下规律：
$$
\begin{aligned}
xy^\prime &= Dy\\
x^2y^{\prime\prime} &= D(D-1)y\\
x^3y^{\prime\prime\prime} &= D(D-1)(D-2)y\\
\end{aligned}
$$
一般地，有 $x^ny^{(n)} = D(D-1)(D-2)\cdots(D-n+1)y$ 。
例题
求微分方程 $x^3y^{\prime\prime\prime}+x^2y^{\prime\prime}-4xy^\prime=3x^2$ 的通解。
显然这是一个欧拉方程，因此我们进行变量代换，令 $x=e^t$ ，则转化为：
$$D(D-1)(D-2)y+D(D-1)y-4Dy=3e^{2t}\Rightarrow \frac{\mathrm{d}^3y}{\mathrm{d}t^3}-2\frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}t^2}-3\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}=3e^{2t}$$
根据该方程的特征方程 $r^3-2r^2-3r=0$ 解出特征根为 $-1,0,3$，因此齐次方程的通解就是 $C_0+C_1e^{-t}+C_2e^{3t}$，换回 $x$ 就是 $C_0+C_1x^{-1}+C_2x^3$ 。
一组特解的求解直接采用 $f(x)=e^{\lambda x} P_m(x)$ 型微分方程中提到的方法，容易观察出特解满足形式 $Ae^{2t}$ ，其中 $A$ 是未知常数，代入原式后不难解出 $A=-\frac{1}{2}$ 。因此求出一个特解为 $-\frac{1}{2}e^{2t}$
综上所述，答案为 $C_0+C_1x^{-1}+C_2x^3-\frac{1}{2}x^2$ 。