黎曼zeta函数和素数分布的一个小结论
今天发现了一个问题的巧妙解法，记录一下。
问题引入：任取两个自然数 $a,b$ ，求 $a,b$ 互质的概率。
设 $\gcd(a,b)=n$ 的概率为 $p(n)$ 。注意到 $\gcd(a,b)=n$ 的充要条件是 $n|a,n|b$ 并且 $\gcd(\frac{a}{n},\frac{b}{n})=1$ ，而任意自然数被 $n$ 整除的概率是 $\frac{1}{n}$ ，因此有：
$$p(n)=\frac{1}{n}\cdot\frac{1}{n}\cdot p(1) = \frac{p(1)}{n^2}$$
显然有 $\sum_{n=1}^{\infty}p(n)=1$ ，即 $p(1)\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}=1$ ，于是 $\gcd(a,b)=1$ 的概率为：
$$p(1)=\frac{1}{\zeta(2)}=\frac{6}{\pi^2}$$
这个证明显然可以推广到以下结论：
任取 $n$ 个正整数 $a_1,a_2,\ldots,a_n$ ，$\gcd(a_1,a_2,\ldots,a_n)=1$ 的概率为 $\frac{1}{\zeta(n)}$ 。